解决九宫格问题，有诀窍！
只要你懂得了其中的规律，把握住了几种常用的解题方法，再能迅速找到突破口，解决起来非常容易，就是分分钟的事。
下面就这三个问题分述一下。
先说第一个问题：三阶和幻方的规律。
第一，在九宫格中，每行、每列、每条斜线上三数之和都相等，这三数之和叫做幻和。
幻和等于中心数的三倍，也等于九数之和的三分之一。所以，已知中心数或者九数之和，都可以求得幻和。反过来，已知幻和，也可以求得中心数和九数之和。
第二，中心数。中心数是九个数中间的数，也是九宫格中位于中心位置上的数。
中心数等于九数的平均数，所以中心数等于九数之和的九分之一。
中心数还等于一、九两数和的一半；还等于二、八两数和的一半；还等于三、七两数和的一半；还等于四、六两数和的一半。
中心数是解决九宫格问题的一个很重要的因素。知道了中心数，就可以算出幻和。
第三，斜二格上两个数的和等于相对角数的二倍，或者说角数等于相对斜二格上两数和的一半。
斜二格上的两个数和相对角上的数，由于具有特殊关系，所以这三数所构成的图形叫做黄金三角形。
第四，九宫格中的九个数是一个三段两公差数列。
例如①1、2、3、4、5、6、7、8、9；
②1、2、3、5、6、7、9、10、11；
③2 、5、 7、 8 、10、 12 、13 、15、 18。
上面这三个数列都是符合要求的数列。
数列①是九个连续自然数，段内差和段间差都是1。
数列②的段内差是1，段间差是2。
数列③的段内差是3，段间差是1。
再说第二个问题：常用的填数方法。
第一个常用的方法：口诀法。
对于已知数列的题目，适合用口诀法。
如果题目中只给出了一列数，而排列顺序却不符合三段两公差的要求，那么就需要先把九个数按照三段两公差重新排列后，再根据口诀法填数。
口诀法的具体内容是：“二四为肩，六八为足，上九下一，左七右三，五居中央”。如图所示，
需要说明的是，九宫图即是轴对称图形，又是中心对称图形，所以把图形旋转，或者上下对调，或者左右对调，所构成的新的九宫图同样符合要求。如下面诸图所示：
第二个常用的方法：黄金三角形法。
因为角数等于相对斜二格上两个数和的一半，所以利用这三个数的金三角关系，只要已知三个数中的任意两个数，就可以求出第三个数。
第三个常用的方法：重叠空格法。
因为横、竖、斜方向上三数的和都相等，所以当两直线上有叠加的空格，并且有三个数（一条直线上有两个数，另一条上有一个数）时，就可以算出而填入第四个数。
例如下图中，左上角是重叠的空格，
那么每条线上另外两个数的和就相等，所以可求得中心数是5。
第四个常用的方法：幻和法。
在已知幻和的情况下，对于每行、每列、每条对角线上的三个格，只要知道了两个数，就可以算出第三个数。
最后说说找突破口，快速而准确地找到突破口，是秒解九宫格的关键。
下面通过例题，介绍几个快速找出突破口的方法。
列数列应用口诀法：此类问题的关键是列出符合要求的数列，然后再应用口诀法填数。此类问题的突破口就是如何确定“三段两公差”。
例题1把下面九个数1、4、5、7、8、9、11、12、15填入九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。
解析：现有的数列不符合要求，需要重新按三段两公差的顺序排列，这就是该题的突破口。
把上面的九个数按段内差为3，段间差为-2重新排列，可得到符合要求的数列1、4、7、5、8、11、9、12、15，然后按照口诀法填入九宫格中即可。
上面的九个数还可以按段内差为4，段间差为-5重新排列，可得到符合要求的数列1、5、9、4、8、12、7、11、15，然后按照口诀法填入九宫格中即可。
例题2如图所示，是利用口诀法完成九宫图的部分内容。用不同的自然数补全空白格，满足①段内差和段间差的比为1:2；②每一横行，每一竖列，每条对角线上的三个数的和均相等。
解析：图中30、32分别是第七位数和第九位数，所以段内差是1。因为段内差和段间差的比为1:2，所以段间差是2。由此可知，按照题目要求列出符合要求的数列，就是该题的突破口。
符合要求的数列是22、23、24、26、27、28、30、31、32 ，然后按照口诀法填入九宫格中即可。
练习3如图所示，是利用口诀法完成九宫图的部分内容。用不同的自然数补全空白格，满足①九数之和最小；②每一横行，每一竖列，每条对角线上的三个数的和均相等。
解析：图中30、32分别是第七位数和第九位数，所以段内差是1。要满足九数之和最小，最小数应取最小的自然数0。故此数列的段内差是1，段间差为13。
由此可知，按照题目要求列出符合要求的数列，就是该题的突破口。
符合要求的数列是0、1、2、15、16、17、30、31、32，然后按照口诀法填入九宫格中即可。
例题4在下面的九宫格中，再填入七个不同的自然数，要求①九个数都是两位数；②九个数的和最小。③每行、每列和每条对角线上的和都相等。
解析：本题要求都是两位数，还要求总和最小，这就是必须让48是最大数，而最小数取10。有了最大数和最小数，就可以算出中心数是29，幻和是87。
此题看起来复杂，其实很简单，利用口诀法、黄金三角形法、重叠空格法、幻和法都可以找到突破口。
如果从口诀法着手，第一位数是10，第五位数是29，第六位数是36，第九位数是48，那么符合要求的数列的段内差是7，段间差为-2，符合要求的数列为10、17、24、22、29、36、34、41、48，然后按照逆时针旋转九十度的九宫图填入数即可。
黄金三角形法、重叠空格法、幻和法等等，多数情况可以同时使用，只是选择哪种分法更好切入突破口罢了。
上面的例题4，根据题意，由“九数都是两位数，且九数之和最小”可知，48一定是最大数，与其相对的边中格是最小的两位数10，并由此进一步得出“中心数”是29，如下图所示。
在九宫格中，四个格中有了确定的数，并且知道了中心数是29，一般情况下几种方法都可以找到突破口。
在已知中心数或者幻和的情况下，一般从幻和法下手。中心数是29，幻和就是87，横、竖、斜方向上，只要已知两个数，那么用幻和减去两数之和，就可以得到第三个数。答案如图所示
（黄金三角形法和重叠空格法都可行，自己练习练习。）
例题5在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。
解析：突破口一——应用重叠空格法，先填入左中格的3，
然后利用黄金三角形法及中心数的特点填入角格和中格。
突破口二——先填入中心数13。
然后再利用黄金三角形法和幻和法完成填图。
突破口三——先利用黄金三角形法填入左上角的16和左下角的20，
再利用重叠空格法及中心数法或者幻和法完成填图。
例题6在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。
解析：突破口一——先填入中心数29。
然后再利用黄金三角形法及幻和法完成填图。
突破口二——先利用黄金三角形法填入34和22，
然后再利用重叠空格法或者幻和法完成填图。
突破口三——先利用重叠空格法填入17、24、34，
然后再利用黄金三角形法和幻和法完成填图。
例题7在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。
解析：突破口一——先利用黄金三角形法填入75、76，
然后再利用重叠空格法及幻和法完成填图。
突破口二——先利用重叠空格法填入71、70、76，
然后再利用幻和法和黄金三角形法完成填图。
例题8在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。
解析：突破口一——先利用重叠空格法填入2、18、6，
然后再利用黄金三角形法或者幻和法完成填图。
突破口二——先填入中心数10，用幻和法完成填图。
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